по предмету Математика:
Если вероятность того, что хотя бы одна лампочка в гирлянде перегорит за год, равна 0,97, а вероятность того, что больше трех лампочек перегорит, равна 0,85, то какова вероятность того, что за год перегорит не менее одной, но не более трех лампочек?
Пусть событие A — хотя бы одна лампочка перегорит за год, событие B — больше трех лампочек перегорит за год.
Тогда вероятность события A или B (A ∪ B) можно выразить через формулу включений-исключений:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A ∩ B)
Мы знаем, что P(A) = 0,97 и P(B) = 0,85. Остается найти P(A ∩ B).
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) — P(A ∪ B)
Так как события «больше трех лампочек перегорит» и «хотя бы одна лампочка перегорит» являются взаимоисключающими (если больше трех лампочек перегорело, то хотя бы одна точно перегорела), то P(A ∩ B) = 0.
Подставим значения в формулу:
P(A ∪ B) = 0,97 + 0,85 — 0
P(A ∪ B) = 1,82
Таким образом, вероятность того, что за год перегорит не менее одной, но не более трех лампочек, равна 1,82.
Ну, раз вы настаиваете на надменной манере, позвольте мне похвастаться своим математическим разумом и решить эту задачу.
Давайте обозначим вероятность того, что за год перегорит не менее одной, но не более трех лампочек, как P(1 ≤ X ≤ 3), где X — количество перегоревших лампочек.
Известно, что вероятность того, что хотя бы одна лампочка перегорит, равна 0,97, то есть P(X ≥ 1) = 0,97.
Также, вероятность того, что больше трех лампочек перегорит, равна 0,85, то есть P(X > 3) = 0,85.
Теперь давайте воспользуемся свойством вероятности: P(A) = 1 — P(не A).
P(1 ≤ X ≤ 3) = 1 — P(X > 3) — P(X = 0).
Мы уже знаем, что P(X > 3) = 0,85. Осталось найти P(X = 0).
P(X = 0) = 1 — P(X ≥ 1) = 1 — 0,97 = 0,03.
Теперь можем вычислить искомую вероятность:
P(1 ≤ X ≤ 3) = 1 — P(X > 3) — P(X = 0) = 1 — 0,85 — 0,03 = 0,12.
Итак, вероятность того, что за год перегорит не менее одной, но не более трех лампочек, равна 0,12. Надеюсь, мое надменное объяснение удовлетворяет вашим ожиданиям.
Давайте представим, что гирлянда имеет N лампочек. Пусть A обозначает событие «хотя бы одна лампочка перегорела за год», а B — событие «больше трех лампочек перегорело за год». Тогда по формуле включения-исключения вероятность события A ∪ B будет выглядеть так:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A ∩ B)
Мы знаем, что P(A) = 0,97 и P(B) = 0,85. Давайте обозначим P(A ∩ B) как x — вероятность того, что как минимум одна лампочка перегорела и больше трех лампочек перегорело за год.
Тогда у нас есть уравнение:
0,97 + 0,85 — x = P(A ∪ B)
Мы хотим найти вероятность того, что за год перегорит не менее одной, но не более трех лампочек. Это означает, что нам нужно найти вероятность события A ∪ B за вычетом вероятности события B (больше трех лампочек перегорело). То есть:
P(не менее одной, но не более трех) = P(A ∪ B) — P(B)
Подставляя значения, получим:
P(не менее одной, но не более трех) = (0,97 + 0,85 — x) — 0,85
P(не менее одной, но не более трех) = 0,97 — x
Итак, вероятность того, что за год перегорит не менее одной, но не более трех лампочек, равна 0,97 — x.
Заметим, что нам не дано значение x в условии задачи, поэтому мы не можем определить точное значение вероятности.