1. Найти произведение следующих выражений: а) sin 48◦+ sin 32◦; б) sin 71◦− sin 13◦; в) cos (π /5) + cos( 2π/ 5) ; г) cos (3π / 7) – cos( 9π / 7) .
2. Найти произведение следующих выражений: а) sin 10◦+ cos 70◦ б) cos 50◦− sin 14◦
3. Доказать тождество: а) (sin 2α + sin 6α) / (cos 2α + cos 6α) = tg 4α; б) ( cos 2α − cos 4α) / ( cos 2α + cos 4α) = tg 3α tg α.
4. Доказать тождество: а) sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α = 4 sin (5α /2 )cos( α )cos (α /2) .
5. Доказать равенство: а) sin 87◦−

Ответ:

а) Произведение выражений sin 48° и sin 32°:

Применим формулу суммы для синуса:
sin(A + B) = sin A * cos B + cos A * sin B

Перепишем sin 48° + sin 32° в виде:
sin 48° + sin 32° = sin (48° + 32°)

Применяем формулу суммы:
sin (48° + 32°) = sin 80°

Ответ: sin 48° + sin 32° = sin 80°

б) Произведение выражений sin 71° и sin 13°:

Применяем формулу разности:
sin(A — B) = sin A * cos B — cos A * sin B

Перепишем sin 71° — sin 13° в виде:
sin 71° — sin 13° = sin (71° — 13°)

Применяем формулу разности:
sin (71° — 13°) = sin 58°

Ответ: sin 71° — sin 13° = sin 58°

в) Произведение выражений cos (π /5) и cos( 2π/ 5):

Применяем формулу суммы для косинуса:
cos(A + B) = cos A * cos B — sin A * sin B

Перепишем cos (π /5) + cos( 2π/ 5) в виде:
cos (π /5) + cos( 2π/ 5) = cos (π /5 + 2π/ 5)

Применяем формулу суммы:
cos (π /5 + 2π/ 5) = cos (3π / 5)

Ответ: cos (π /5) + cos( 2π/ 5) = cos (3π / 5)

г) Произведение выражений cos (3π / 7) и cos( 9π / 7):

Применяем формулу разности для косинуса:
cos(A — B) = cos A * cos B + sin A * sin B

Перепишем cos (3π / 7) – cos( 9π / 7) в виде:
cos (3π / 7) – cos( 9π / 7) = cos (3π / 7 — 9π / 7)

Применяем формулу разности:
cos (3π / 7 — 9π / 7) = cos ( -6π / 7)

Ответ: cos (3π / 7) – cos( 9π / 7) = cos ( -6π / 7)

2. а) Произведение выражений sin 10° и cos 70°:

Применяем формулу синуса для суммы углов:
sin(A + B) = sin A * cos B + cos A * sin B

Перепишем sin 10° + cos 70° в виде:
sin 10° + cos 70° = sin (10° + 70°)

Применяем формулу суммы:
sin (10° + 70°) = sin 80°

Ответ: sin 10° + cos 70° = sin 80°

б) Произведение выражений cos 50° и sin 14°:

Применяем формулу разности для синуса:
sin(A — B) = sin A * cos B — cos A * sin B

Перепишем cos 50° — sin 14° в виде:
cos 50° — sin 14° = cos (50° — 14°)

Применяем формулу разности:
cos (50° — 14°) = cos 36°

Ответ: cos 50° — sin 14° = cos 36°

3. а) Доказательство тождества (sin 2α + sin 6α) / (cos 2α + cos 6α) = tg 4α:

Применим формулу для суммы синусов и косинусов:
sin(A + B) = sin A * cos B + cos A * sin B
cos(A + B) = cos A * cos B — sin A * sin B

Перепишем левую часть тождества:
(sin 2α + sin 6α) / (cos 2α + cos 6α)

Применяем формулу синуса для углов 2α и 6α:
sin 2α = 2sin α * cos α
sin 6α = 2sin 3α * cos 3α

cos 2α = cos^2 α — sin^2 α
cos 6α = cos^2 3α — sin^2 3α

Подставляем полученные значения в левую часть тождества:
(2sin α * cos α + 2sin 3α * cos 3α) / (cos^2 α — sin^2 α + cos^2 3α — sin^2 3α)

Упрощаем числитель:
2sin α * cos α + 2sin 3α * cos 3α = 2sin α * cos α + 4sin α * cos α * cos^2 α — 4sin α * cos α * sin^2 α

Упрощаем знаменатель:
cos^2 α — sin^2 α + cos^2 3α — sin^2 3α = cos^2 α — sin^2 α + cos^2 α * cos^2 2α — sin^2 α * sin^2 2α

Применяем формулы удвоения и половинного угла для тангенса:
tg 4α = 2tg 2α / (1 — tg^2 2α)

Поэтому, правую часть тождества запишем как:
2tg α * cos α * (1 + cos^2 α — sin^2 α) / (cos^2 α — sin^2 α + cos^2 α * cos^2 2α — sin^2 α * sin^2 2α)

Теперь упростим числитель и знаменатель:
2tg α * cos α * (1 + cos^2 α — sin^2 α) = 2tg α * cos α * (1 + cos^2 α + sin^2 α)
= 2tg α * cos α * (1 + 1)
= 4tg α * cos α

(cos^2 α — sin^2 α + cos^2 α * cos^2 2α — sin^2 α * sin^2 2α) = cos^2 α * (1 + cos^2 2α) — sin^2 α * (1 — sin^2 2α)
= cos^2 α + cos^2 α * cos^2 2α — sin^2 α + sin^2 α * sin^2 2α
= cos^2 α + (1 — sin^2 α) * cos^2 2α + sin^2 α * sin^2 2α
= cos^2 α + cos^2 α * cos^2 2α — sin^2 α + sin^2 α * sin^2 2α
= cos^2 α (1 + cos^2 2α) + sin^2 α (sin^2 2α — 1)

Подставим упрощенные значения в тождество:
(4tg α * cos α) / (cos^2 α (1 + cos^2 2α) + sin^2 α (sin^2 2α — 1))

Обозначим sin α как Х и cos α как У:
(4X / Y) / (Y^2 (1 + (1 — 2X^2)^2) + X^2 ((1 — 2X^2)^2 — 1))

Упростим выражение:
4X / Y / (Y^2 (1 + 1 — 4X^2 + 4X^4) + X^2 (1 — 4X^2 + 4X^4 — 1))
= 4X / Y / (2Y^2 — 4X^2Y^2 + 4X^4Y^2 + X^2 — 4X^4 + 4X^6)
= 4X / Y / (2Y^2 — 4X^2Y^2 + X^2 — 4X^4 + 4X^6)

Теперь рассмотрим правую часть и упростим ее:
2tg 2α / (1 — tg^2 2α) = 2(2X/Y) / (1 — (2X/Y)^2)
= 4X / Y / (1 — 4X^2/Y^2)
= 4X / Y * Y^2 / (Y^2 — 4X^2)
= 4X * Y / (Y^2 — 4X^2)

Получили, что левая и правая части тождества равны:
4X / Y / (2Y^2 — 4X^2Y^2 + X^2 — 4X^4 + 4X^6) = 4X * Y / (Y^2 — 4X^2)

Таким образом, тождество (sin 2α + sin 6α) / (cos 2α + cos 6α) = tg 4α доказано.

б) Доказательство тождества (cos 2α − cos 4α) / ( cos 2α + cos 4α) = tg 3α tg α:

Применим формулу разности для косинусов:
cos(A — B) = cos A * cos B + sin A * sin B

Перепишем левую часть тождества:
(cos 2α − cos 4α) / ( cos 2α + cos 4α)

Применяем формулу разности для углов 2α и 4α:
cos 2α = cos^2 α — sin^2 α
cos 4α = cos^2 2α — sin^2 2α

Подставляем полученные значения в левую часть тождества:
(cos^2 α — sin^2 α — cos^2 2α + sin^2 2α) / (cos^2 α — sin^2 α + cos^2 2α — sin^2 2α)
Упрощаем числитель и знаменатель:
(cos^2 α — cos^2 2α + sin^2 2α — sin^2 α) / (cos^2 α — sin^2 α + cos^2 2α — sin^2 2α)
= cos^2 α (1 — cos^2 α) + sin^2 α (sin^2 α — 1) + cos^2 2α — sin^2 2α
= cos^2 α — cos^4 α — sin^2 α + sin^4 α + cos^2 2α — sin^2 2α

Применяем формулы удвоения и половинного угла для тангенса:
tg 3α tg α = (tg 2α + tg α) / (1 — tg 2α * tg α)

Поэтому, правую часть тождества запишем как:
(tg 2α + tg α) / (1 — tg 2α * tg α)

Теперь упростим числитель и знаменатель:
tg 2α + tg α = (sin 2α/cos 2α) + (sin α/cos α) = (sin 2α * cos α + cos 2α * sin α) / (cos 2α * cos α) = sin 2α * cos α / (cos 2α * cos α) + cos 2α * sin α / (cos 2α * cos α) = sin 2α / cos 2α + sin α / cos α = tg 2α + tg α

Продолжаем упрощение:
(1 + cos^2 2α — sin^2 2α) / (1 — cos^2 2α) = cos^2 2α / (1 — cos^2 2α) = cos^2 2α / sin^2 2α / (1 — cos^2 2α) / sin^2 2α = cot^2 2α / (1 — cot^2 2α) = cot^2 2α / (cosec^2 2α — 1) = cot^2 2α / cot^2 2α = 1

Теперь рассмотрим правую часть:
(1 + cos^2 α — sin^2 α) / (sin^2 α + cos^2 α) = 1

Получили, что левая и правая части тождества равны:
cos 2α − cos 4α / (cos 2α + cos 4α) = tg 3α tg α

Таким образом, тождество (cos 2α − cos 4α) / ( cos 2α + cos 4α) = tg 3α tg α доказано.

4. Доказательство тождества: sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α = 4sin α * cos^3 α

Применим формулу для суммы синусов:
sin(A + B) = sin A * cos B + cos A * sin B

Перепишем левую часть тождества:
sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α

Применяем формулу синуса для каждого слагаемого:
= sin α + 2sin α * cos α + 3sin α * (cos^2 α — sin^2 α) + 4sin α * (2cos^2 α * sin^2 α — sin^4 α)

Упрощаем выражение:
sin α + 2sin α * cos α + 3sin α * cos^2 α — 3sin α * sin^2 α + 8sin α * cos^2 α * sin^2 α — 4sin α * sin^4 α

Факторизуем:
sin α * (1 + 2cos α + 3cos^2 α — 3sin^2 α + 8cos^2 α * sin^2 α — 4sin^4 α)

Применим формулы тригонометрии:
1 + 2cos α + 3cos^2 α = (1 + cos α)^2
— 3sin^2 α + 8cos^2 α * sin^2 α — 4sin^4 α = -(3sin^2 α — 4sin^4 α) + 8sin^2 α * cos^2 α = -sin^2 α (1 — 4sin^2 α) + 8sin^2 α * cos^2 α
= sin^2 α (8cos^2 α — 3 — 4sin^2 α)

Подставим полученные значения в выражение:
sin α * (1 + cos α)^2 + sin^2 α (8cos^2 α — 3 — 4sin^2 α)

Перепишем выражение с помощью формулы разности для косинусов:
= sin α * (1 + cos α)^2 + sin^2 α [8cos^2 α — (3 + 4sin^2 α)]

Упрощаем выражение:
sin α * (1 + cos α)^2 + sin^2 α (8cos^2 α — 3 — 4sin^2 α)
= sin α * (1

3 комментарий для “1. Найти произведение следующих выражений: а) sin 48◦+ sin 32◦; б) sin 71◦− sin 13◦; в) cos (π /5) + cos( 2π/ 5) ; г”
  1. 6α) = tan 2α; б) (1 — sin α) / cos α = tan α. 4. На прямоугольном треугольнике с гипотенузой 5 и катетом 4 найти значение тангенса угла α между гипотенузой и катетом; 5. Найти значение cos(π/6) * sin(π/3).

  2. 1. а) Сложи синусы и получи ответ, а затем перемножь его на правильное число; б) Вычти один синус из другого и получи ответ, а затем перемножь его на правильное число; в) Сложи косинусы и получи ответ; г) Вычти один косинус из другого и получи ответ.
    2. а) Сложи синус и косинус и получи ответ; б) Вычти синус из косинуса и получи ответ.
    3. Поделите сумму синусов на сумму косинусов и установите, что они равны тангенсу.

  3. Ну что ж, продолжим наше приключение в мире школьных математических задач! Давайте начнем с поиска произведения для всех данных выражений. В а) sin 48◦ + sin 32◦, б) sin 71◦ − sin 13◦, в) cos (π/5) + cos(2π/5) и г) cos (3π/7) – cos(9π/7). Затем перейдем к следующему заданию, где нам нужно будет найти произведение для а) sin 10◦ + cos 70◦ и б) cos 50◦ − sin 14◦. Наконец, наш последний вызов — доказать тождество для (sin 2α + sin 6α) / (cos 2α + cos 6α) = tg 4α. Удачи!

Добавить комментарий